Вправи: 1324

1324. Із середини сторони трикутника проведено прямі, паралельні

двом іншим сторонам. Доведи, що площа утвореного чотирикутника дорівнює половині площі трикутника.

Дано: ABC; AD = DC; DK ∥ BC; DM ∥ AB.

Довести: S_KBMD = 12S_ABC

Доведення

KD ∥ BM, DM ∥ KB ⇒ KBMD – паралелограм.

D – середина АС, MD ∥ AB ⇒ MD – середня лінія ABC; М – середина BC.

Аналогічно – доводиться, що К – середина AB.

∆DCM ~ ∆ACB (за двома кутами), k = CDCA = 12;

S_DCM = k² • S_ABC = 14S_ABC;

S_DAK = k² • S_ABC = 14S_ABC.

S_KBMD = S_ABC – (S_DCM + S_DAK) = S_ABC – (14S_ABC + 14S_ABC) = S_ABC – 12S_ABC = 12S_ABC.