Вправи: 1225

1225. Вершини чотирикутника ділять описане коло на дуги, три з яких мають 100°, 110° і 120°. Знайди градусну міру четвертої дуги кола.

360° – (100° + 110° + 120°) = 30° — градусна міра четвертої дуги кола.

Стор.221

Задачі за готовими малюнками.

1. А) AC = 8, ∠CAD = 30°.

CD = 12АС = 4 (катет проти кута З0° в прямокутному ∆ACD). За теоремою Піфагора: AD = AC2- CD2 = 82- 42 = 48 = 43.

S_ABCD = AD • CD = 4 • 43 = 163.

Б) AK = 9, BK = 12.

∆ABK ~ ∆BCK (за двома кутами) AKBK = BKCK;

BK² = AK • CK; 9 • CK = 12²; CK = 16.

Тоді AC = 9 + 16 = 25;

З ∆ABK : AB = AK2+ BK2 = 81+144 = 225 = 15;

3 ∆BKC : BC = BK2+ KC2 = 122+ 162 = 400 = 20

S_ABCD = AB • AD = 15 • 20 = 300.

2. А) ∠1 = ∠2 , KD = 3CK, BD = 15.

∠1 + ∠2 = 90°, ∠1 = ∠2 = 45°; ∆AKD — прямокутний.

∠AKD = 45°, тому AD = DK.

Нехай CK = х, тоді KD = 3x . Звідси AD = 3x; CD = 4x; AB = 4x.

∆ABD — прямокутний.

(Зх)² + (4x)² = 15²; 9x² + 16x² = 225; 25х² = 225; х = 3; AD = 3 •

• 3 = 9. АВ = 4 • 3 = 12.

S_ABCD = AB • AD = 9 • 12 = 108.

Б) BP = 2, BK = 3, α = 60°.

У чотирикутнику KBPD ∠K = ∠P = 90°; ∠B = 60°, отже AK = 12АВ. За теоремою Піфагора:

AB² – AK² = BK²; AB² – (12АВ)² = 9;

34AB² = 9; AB² = 12; AB = 23.

S_ABCD = AB • BP = 23 • 2 = 43.

3. А) ABCD — ромб, AB = BD = 6.

AC ⊥ BD; O — середина AC і BD.

∆AOB — прямокутний; AB = 6;

BO = 3. За теоремою Піфагора:

AO = 62- 32 = 27 = З3;

AC = 2AO = 63.

S_ABCD = 12BD • AC = 1263 • 6 = 183.

Б) BC ∥ AD, ∠A = 45°, AD = 8, BC = 3.

BK ⊥ AD; KD = BC = 3, тому

AK = AD – KD = 8 – 3 = 5.

∆ABK – рівнобедрений, бо ∠A = 45°, тому

∠B = 45°. Отже, AK = BK = 5.

S_ABCD = BC+AD2 • BK = 3+82 • 5 = 552 = 27,5.

4. А) BC ∥ AD;∠1 = ∠2. ∠2 = ∠3.

(внутрішні різносторонні при паралельних BC і AD і січній AC). Звідси ∠1 = ∠3, тому ∆ABC рівнобедрений AB = BC = 10.

BN ⊥ AD, CP ⊥ AD; NP = 10;

AN = 22-102 = 6.

З ∆ABN: BN = AB2- AN2 = 102- 62 = 64 = 8.

S_ABCD = BC+AD2 • BN = 10+222 • 8 = 32 • 4 = 128.

Б) BC ∥ AD. BK ⊥ AD, CM ⊥ AD, BC = KM = 18.

MD = AK = 30-182 = 6, тому AM = 30 – 6 = 24.

∆ACM — прямокутний.

CM = AC2- AM2 = 252-242 = 7.

S_ABCD = 18+302 • 7 = 168.

5. А) BK ⊥ AC; ∆ABK — прямокутний.

∠ABK = 30°, тому AK = 12АВ = 2.

За теоремою Піфагора: BK = AB2- AK2 = 42- 22 = 12 = 3.

S_∆ABC = 12АС • BK = 126 • 23 = 63.

Б) AB = BC.

BK ⊥ AC; K — середина AC; AK = 9.

∆АВК — прямокутний;

BK = AB2-AK2 = 152- 92 = 225-81 = 144 = 12.

S_∆ABC = 12АС • BK = 12 • 18 • 12 = 108.

6. А) AM = MCX, S_∆ABM = Q.

∆АВМ і ∆ВМС мають спільну висоту BK, основи їх рівні, тому S_∆ABM = S_∆BMC = Q. Отже S_∆ABC = S_∆ABM + S_∆BMC = Q + Q = 2Q.

Б) AC = 16, АВ – ВК = 2.

Нехай ВК = х, тоді АВ = х + 2.

∆ABC — рівнобедрений; BK ⊥ AC, тому K — середина AC.

AK = 12АС = 12 • 16 = 8. ∆ABK — прямокутний.

За теоремою Піфагора: BK² + AK² = AB².; x² + 8² = (х + 2)²;

4х = 60; х = 15; BK = 15.

S_∆ABC = 12АС • BK = 12 • 16 • 15 = 120.

7. А) AC ⊥ BC. AH – HB = 7, HС = 12.

∆AHC ~ ∆CHB (за двома кутами).

AHCH = CHBH; AH • BH = CH².

Нехай HB = х, тоді AH = 7 + х, х(х + 7) = 122; x² + 7x – 144 = 0;

x = –16 — не є розв’язком. x = 9.

HB = 9; AH = 7 + 9 = 16; AB = 9 + 16 = 25.

S_ABC = 12AB • HC = 12 • 25 • 12 = 150.

Б) AB : AC = 5 : 8, BK = 7, КС = 32.

Нехай AB = 5х; AC = 8х.

З ∆ABK (∠K = 90°): AK² = AC² – KC² = 64х² – 32².

Звідси 25x² – 49 = 64х² – 1024;

39x² = 975; x² = 25 х = 5. AB = 25.

AK = AB2- BK2 = 252- 72 = 24.

BC = BK + KC = 7 + 32 = 39.

S_∆ABC = 12ВС • AK = 12 • 39 • 24 = 468.

8. А) AB = AC, AO = 18, ОH = 6.

OH = r; OK = 6.

З ∆AOK прямокутного

AK = AO2- OK2 = 82- 62 = 122.

S_ABC = 12ВС • AH = 12122 • 24 = 1442.

Б) BM : MC = 2 : 3, AB = BC, OM = 6.

BK ⊥ AC.

Нехай BM = 2х; MC = Зх, тоді KC = Зх

(з рівності ∆ОМС і ∆OKC). BC = 2х + Зх = 5х.

BK = BC2- KC2 = 25x2- 9x2 = 4х.

∆BOM ~ ∆BCK (за двома кутами.

∠B — спільний. ∠M = ∠K = 90°).

BMBK = MOKC; 2x4x = 63x. Звідси х = 4,

тоді KC = 12, BK = 16, AC = 24 .

S_∆ABC = 12АС • BK = 12 • 24 • 16 = 192.

Стор.223

Самостійна робота 5

Варіант 2

2. Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 12 см, а менша з висот 5 см. Знайди більшу висоту паралелограма.

Менша висота 5 см проведена до сторони 12 см. Висота, проведена до сторони 10 см — х см. Тоді 10 • х = 5 • 12; 10x = 60; х = 6 (см) — більша висота паралелограма.

Варіант 3

2. Висоти паралелограма дорівнюють 5 см і 6 см, а більша сторона 12 см. Знайди меншу сторону паралелограма.

До більшої сторони проведена менша висота. Нехай меншa сторона

паралелограма х см, тоді S = 12 • 5 або S = 6 • х, звідси 6 • х = 12 • 5; 6х = 60; х = 10 (см).

Відповідь: менша сторона паралелограма 10 см.

Стор.225

Типові задачі для тематичного контролю

1. Знайдіть площу прямокутника, діагональ якого дорівнює

10 см, а одна зі сторін 8 см.

∆ACD — прямокутний, CD = AC2- AD2 = 102- 82 = 100-64 = 36 = 6.

S_ABCD = AD • CD = 10 • 6 = 60 (см²) (за теоремою Піфагора).

3. Середня лінія трапеції дорівнює 15 см, а висота 6 см. Знайди площу трапеції.

Оскільки середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ, то Sтрап = 15 • 6 = 90 (см²).

5. Знайдіть периметр паралелограма, якщо його площа 120 см², а висоти дорівнюють 5 см і 6 см.

Нехай а і b — сторони паралелограма, тоді площа паралелограма

5а см² або 6b см², що за умовою 120 см². Отже, 5а = 120; а = 24 (см). Або 6b = 120; b = 20 (см).

P = (а + b) • 2 = (24 + 20) • 2 = 88 (см).

6. Знайди площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона і основа якого пропорційні числам 17 і 16, а висота, проведена до основи, дорівнює 30 см.

∆ABC — рівнобедрений. Нехай

AB = 17х; AC = 16х.

BK ⊥ AC, тому BK і медіана, тому AK = 8х.

∆ABK — прямокутний, за теоремою Піфагора (17x)² = (8x)2 + 302;

289x2 – 64x2 = 900; 225х² = 900; x² = 4; x = 2, тоді AC = 16х = 16 • 2 = 32 (см).

S_∆ABC = 12АС • BK = 12 • 32 • 30 = 480 (см²).

7. Менша основа і бічна сторона рівнобічної трапеції відповідно

дорівнюють 8 см і 12 см. Знайди площу трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 60°.

ABCD — рівнобічна трапеція.

Проведемо BK ⊥ AD, CM ⊥ AD;

BC = KM = 8 см.

∆ABK — прямокутний, ∠А = 60°, тоді

∠B = 30°, тому AK = 12АВ = 12 • 12 = 6 (см), MD = 6 см, бо ∆ABK = ∆DCM, тоді AD = AK + KM + MD = 6 + 8 + 6 = 20 см.

З ∆ABK за теоремою Піфагора BK = AB2- AK2 = 122- 62 = 63.

S_ABCD = BC+AD2 • BK = 8+202 • 63 = 843 (см²).

8. Точка дотику кола, вписаного у рівнобічну трапецію, ділить

бічну сторону на відрізки 3 см і 12 см. Знайди площу трапеції.

ABCD — рівнобічна трапеція.

О — центр кола, вписаного в трапецію.

M — точка дотику кола до сторони AB.

MB = 3 см; AM = 12 см, тому

AB = 3 + 12 = 15 (см); AB + CD = 30 (см); ВС + AD = AB + CD = 30 (см). OK ⊥ BC; ∆ОМВ = ∆ОКВ (прямокутні: OB — спільна гіпотенуза; OM = OK = r (катети)). Звідси BK = MВ = 3 (см), тоді BC = 6 см, звідси AD = 30 – 6 = 24.

BN ⊥ AD; CD ⊥ AD; BC = NP = 6 см, тоді AN = 24-62 = 9 (см).

З ∆BAN — прямокутного, за теоремою Піфагора

BN = AB2- AN2 = 152- 92 = 225-81 = 144 = 12.

S_ABCD = BC+AD2 • BN= 302 • 12 = 180 (см²).

9. Доведи, що площа рівнобічної трапеції дорівнює подвоєному

добутку бічної сторони і радіуса вписаного в трапецію кола.

Якщо в трапецію можна вписати коло,

то AB + CD = ВС + AD, тоді

P_ABCD = (AB + CD) + (BC + AD) = 2(AB + CD).

Оскільки AB = CD, то AB + CD = 2AB.

Отже, P = 2 • 2АВ = 4AB.

S_ABCD = Р • r, Р — півпериметр, тому р = 12Р = 12 • 4AB = 2AB.

Отже, S_ABCD = 2AB • r.