Вправи: 715

715. Доведіть, що відстані від точки перетину медіан трикутника до його сторін утроє менші від довжин відповідних висот трикутника.

∆ABC — довільний трикутник, О — точка перетину медіан.

CD — медіана, OK ⊥ AB; CN ⊥ AB.

CN — висота до сторони AD.

∆ODK – ∆CDN (∠D — спільний, ∠K = ∠N = 90°).

3 подібності трикутників маємо OKCN = ODCD.

Оскільки медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1 (починаючи з вершини), то СО : DO = 2 : 1, тоді OD : CD = 1 : 3.

Звідси OKCN = ODCD = 13.

Тобто відстань від т. О до сторони AB утричі менша, ніж висота, проведена до сторони AB.