Вправи: 655

655. Відрізок MN має кінці на сторонах AB і AC трикутника ABC і паралельний стороні BC. Доведіть, що медіана AA₁ ділить цей відрізок навпіл.

∆АМО ~ ∆ABA₁ (за двома кутами); ∠MAO = ∠BAA₁ (спільний кут);

∠AMO = ∠ABA₁ (відповідні при MN ∥ ВС і січній АB).

З подібності трикутників: АА₁ : АО = BA₁ : МО. Аналогічно: ∆АА₁С ~ ∆AON, звідси АА₁ : АО = А₁С : ON.

Оскільки АА₁ : АО = ВА₁ : МО і АА₁ : АО = А₁С : ON, то BA1MO = A1CON або BA1A1C = MOON.

За умовою ВА₁ = А₁С, тоді МО = ON, тобто т. О ділить відрізок MN навпіл.