Вправи: 1205

1205. Доведіть, що сума відстаней від будь–якої точки, що лежить всередині рівностороннього трикутника, до його сторін дорівнює висоті трикутника.

Нехай дано рівносторонній ∆ABC. АВ = ВС = АС = а.

MK = h₁; MP = h₂; MN = h₃. S_∆ABC = 12ah;

S_∆AMB + S_∆MBC + S_∆AMC = 12ah₁ + 12ah₂ + 12ah₃ = 12a(h₁ + h₂ + h₃);

S_∆ABC = 12a(h₁ + h₂ + h₃), тому h₁ + h₂ + h₃ = h, що й треба було довести.