Вправи: 864

864. Діагоналі рівнобічної трапеції є бісектрисами її гострих кутів і точкою перетину діляться у відношенні 5 : 13. Знайдіть площу трапеції, якщо и висота дорівнює 90 см.

За умовою ВD — бісектриса ∠АDС.

Розглянемо ∆АDС. За властивістю бісектриси кута трикутника маємо: AOOC = ADDC; ADDC = 135.

Нехай АD = 13х (см), DС = 5х (см).

За умовою ВD — бісектриса ∠АDС.

За означенням бісектриси кута маємо:

∠АDВ = ∠ВDС = 12∠АDС. ВС ∥ АD, ВD – січна. За ознакою паралельних прямих маємо: ∠СВD = ∠ВDА (внутрішні різносторонні). Отже, ∠СВD =∠СDВ. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∆АВС — рівнобедрений (АВ = ВС). Отже, ВС = СD = 5х (см). За властивістю рівнобічної трапеції маємо: АN = 12(АD – BC); АN = 13x-5x2 = 8x2 = 4х (см).

Розглянемо ∆АNВ — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АN² + ВN². Складемо і розв’яжемо рівняння:

(5х)² = (4х)² + 90²; (5х)² – (4х)² = 90²; 25х² – 16х² = 90²;

9х² = 90²; (Зх)² = 90²; Зх = 90; х = 90 : 3; х = 30. Отже, АD = 13 • 30 = 390 (см), ВС = 5 • 30 = 150 (см). S_ABCD = a+b2 • h, де а = AD = 390 см, b = ВС = 150 см, h = BN = 90 см.

S_ABCD = 150+3902 • 90 = 5402 • 90 = 270 • 90 = 24300 (см²).

Відповідь: S_ABCD = 24300 см².