Вправи: 865

865. Площа рівнобічної трапеції дорівнює 362 см², а гострий кут — 45°. Знайдіть висоту трапеції, якщо в неї можна вписати коло.

За умовою у трапецію можна вписати коло, тому АВ + ВС = АВ + СВ, АВ + ВС = 2АВ. Розглянемо ∆АBN — прямокутний (∠N = 90°), ∠А = 45°. Із властивості гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠АВN – 45°.

Отже, ∆АBN — рівнобедрений, АN = NB.

Нехай NВ = х см, АN = х см, ВС = у см.

За властивістю рівнобічної трапеції маємо:

AD = BC + 2AN, AD = y + 2x (см). S_ABCD = a+b2 • h, де а = ВС = у см,

b = AD = 2x + y (см), h = BC = x см. y+2x+y2 • x = 362;

2x+2y2 • x = 3625; 2(x+y)2 • x = 362; (x + y) • x = 362.

АD + ВС = у + 2х + у = 2у + 2х = 2(у + х);

2АВ = 2(у + х); АВ = у + x.

Розглянемо ∆АВN — прямокутний рівнобедрений (∠N= 90°, АN = ВN = х см). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АN² + NВ².

АВ² = х² + х² = 2х²; АВ = 2x2 = x2 см.

х + у = x2; у = x2 – х = х(2– 1) см. х • (х + х(2 – 1)) = 362;

х(x + 2x – x) = 362; 2x² = 362; х² = 3622 = 36; x = 6;

BN = 6 см.

Відповідь: ВN = 6 см.