Вправи: 853

853. Коло, центр якого належить гіпотенузі прямокутного трикутника, дотикається до більшого катета й проходить через вершину протилежного гострого кута. Знайдіть радіус кола, якщо катети дорівнюють 5 см і 12 см.

Нехай дано ∆АВС, ∠C = 90°, коло (О; R), т. О ∈ АВ, т. В ∈ колу (О; R), АС — дотична до кола, M — точка дотику, СВ = 5 см, АС = 12 см.

Знайдемо радіус кола R. ОВ = ОМ = R. ОМ ⊥ АС (як радіус, проведений у точку дотику), ВС ⊥ АС, тоді МО ∥ СВ. Розглянемо ∆АСВ, оскільки МО ∥ СВ, то ∆АМО ~ ∆АСВ, з цього випливає, що AMAC = MOCB = AOAB, AM12 = R5 = AOAB.

З ∆АВС, ∠C = 90°, за теоремою Піфагора АВ² = AC² + CB²,

AB² = 12² + 5², АВ² = 144 + 25, АВ² = 169, АВ = 13 см.

АО = АВ – ОВ, АО = 13 – R, R5 = 13- R13, R • 13 = 5(13 – R),

13R = 65 – 5R, 13R + 5R = 65, 18R = 65, R = 6518 см.

Відповідь: R = 6518 см.