Вправи: 849

849. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 10 см, а відстань між серединою гіпотенузи та основою висоти трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює 6 см. Знайдіть периметр даного трикутника.

Нехай дано ∆АВС, ∠С = 90°, СМ — медіана, СМ = 10 см, СК — висота, МК = 6 см. Знайдемо Р_∆ABC. Медіана прямокутного ∆АВС, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

СМ = 12АВ, АВ = 2 • СМ, АВ = 2 • 10 = 20 см.

Розглянемо ∆СМК, ∠К = 90°, за теоремою Піфагора СМ² = СК² + МК², СК² = СМ² – МК², СК² = 10² – 6², СК² = 100 – 36, СК² = 64, СК = 8.

КВ = МВ – МК, МВ = 12АВ, МВ = 10 см, КВ = 10 – 6 = 4 см.

Розглянемо ∆СКВ, ∠К = 90°, за теоремою Піфагора СВ² = СК² + КВ²,

СВ² = 8² + 4², СВ² = 64 + 16, СВ² = 80, СВ = 80 = 45 см.

Розглянемо ∆АВС, ∠С = 90°, за теоремою Піфагора АВ² = АС² + СВ²,

20² = АС² + 80, АС² = 400 – 80, АС² = 320,

АС = 320 = 420 = 85 см.

P_∆ABC = AB + BC + AC, P_∆ABC = 20 + 45 + 85= 20 + 125 (см).

Відповідь: P_∆ABC = 20 + 125 см.