Вправи: 819

819. Перпендикуляр, опущений із вершини В прямокутника ABCD

на діагональ AC, ділить кут ABC на два кути, величини яких

відносяться як 1 : 3. Знайдіть кут між проведеним перпендикуляром і діагоналлю BD.

За умовою ∠АВМ : ∠NBC = 1 : 3. Нехай ∠АВN = х, тоді ∠NВС = Зх. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠АВС = ∠АBN + ∠NВС, ∠АВС = 90° (за умовою АВСD — прямокутник).

Отже, маємо: x + Зх = 90; 4х = 90; х = 90 : 4; x = 22,5. Тому ∠АBN = 22,5°, ∠NВС = 3 • 22,5° = 67,5°. Розглянемо ∆АВN — прямокутний (∠N = 90°, за умовою ВN — висота, ВN ⊥ АС). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠АBN + ∠ВАN = 90°; ∠ВАN = 90° – ∠АBN; ∠ВАN = 90° – 22,5° = 67,5°.

За умовою АВСD — прямокутник. За властивістю діагоналей

прямокутника маємо: ВD = АС, ВО = 12ВD, АО = 12АС.

Отже, ВО = АО, тому ∆BОС — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠ВАО = ∠АBО = 67,5°. За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠NВО = ∠АВО – ∠АBN, ∠NВО = 67,5° – 22,5° = 45°.

Відповідь: ∠NВО = 45°.