Вправи: 793

793. Доведіть, що пряма, яка проходить через середину середньої

лінії трапеції та перетинає її основи, розбиває дану трапецію на два рівновеликих многокутники.

Пряма а розбиває трапецію АВСD на дві трапеції: АВЕF і EСDF.

S_ABEF = BE+AF2 • BT (BT – висота, BT ⊥ AD).

S_ECDF = EC+FD2 • CR (CR – висота, CR ⊥ AD).

ВСRТ — прямокутник (ВС ∥ ТR, ВТ ⊥ АD, СR ⊥ АD, ВT ∥ СR), отже,

ВТ = СR = h. За теоремою Фалеcа маємо, що Р – середина ЕF, отже, МР — середня лінія трапеції АВЕF, РN – середня лінія трапеції ЕСDF. За теоремою про середню лінію трапеції маємо МР = 12(ВЕ + АF);

PN = 12(ЕС + FD).

За умовою Р — середина МN, отже, МР = РN = 12МN = b.

S_ABEF = h • b; S_ECDF = h • b. Отже, S_ABEF = S_ECDF. Тобто пряма а розбиває трапецію ABCD на два рівновеликих многокутника. Доведено.