Вправи: 792

792. Точка перетину бісектрис тупих кутів при основі трапеції

належить другій основі. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють 10 см і 17 см, а висота — 8 см.

S = a+b2 • h, де а = ВС, b = АD, h = СN = 8 см. За умовою ВЕ — бісектриса ∠СВА. За означенням бісектриси кута маємо: ∠СВЕ = ∠ЕВА. ВС ∥ АD, ВЕ — бічна.

За ознакою паралельності прямих маємо:

∠СВЕ = ∠ВЕА (внутрішні різносторонні), отже, ∆ВАЕ — рівнобедрений (∠АВЕ = ∠АЕВ) АВ = АЕ = 10 см. Аналогічно, якщо СЕ — бісектриса ∠ВСD, тоді ∠DСЕ = ∠ВСЕ. ВС ∥ АD, СЕ — січна, ∠DЕС – ∠ВСЕ. Отже, ∆DСЕ — рівнобедрений (∠DЕС = ∠DСЕ), СD = DЕ = 17 см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АD = АЕ + ЕD, АD = 10 + 17 = 27 (см). Розглянемо ∆СMND — прямокутний (∠N = 90°). За теоремою Піфагора маємо: СD² = СN² + ND²; ND² = СD² – СN²;

ND² = 17² – 8² = (17 – 8) • (17 + 8) = 9 • 25; ND = 9 •25 = 3 • 5 = 15 (см). ВР — висота (ВР ⊥ АВ). Розглянемо ∆ВРА — прямокутний (∠Р = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АР² + РВ²;

АР² = АВ² – ВР²; АР² = 10² – 8² = (10 – 8) • (10 + 8) = 2 • 18 = 36; АР = 36 = 6 (см).

За аксіомою вимірювання відрізків маємо: РN = АD – (АР + ND);

PN = 27 – (6 + 15) = 27 – 21 = 6 (см).

РВСN — прямокутник, РN = ВС = 6 см. S = 27+62 • 8 = 33 • 4 = 132 (см²).

Відповідь: S = 132 см².