Вправи: 77

77. На стороні BC паралелограма ABCD існує така точка M, що BM = MD = CD. Знайдіть кути паралелограма, якщо AD = BD.

Нехай дано паралелограм АВСF, т. M ∈ ВС, ВМ = MD = СD, АD = ВD. Знайдемо ∠А, ∠ABC, ∠С, ∠АDС. Нехай ∠А = х, тоді ∠С = ∠А = х (протилежні кути паралелограма), ∠С = ∠DМС = х (∆DМС — рівнобедрений). ∠А = ∠АBD = х (∆АBD — рівнобедрений).

Нехай ∠МВD = ∠ВDМ = у (∆ВМD — рівнобедрений).

∠АВС = ∠АBD + ∠DВМ. ∠АВС = х + у. ∠А + ∠АВС = 180° (як сусідні

кути паралелограма), х + х + у = 180; 2х + у = 180.

∠СМD — зовнішній кут ∆ВМD, тоді ∠СМD = ∠МВD + ∠MDB.

х = у + у; х = 2у.

2x + y = 180, 2 • 2y + y = 180, 5y = 180, y = 36,

х = 2y; x = 2y; x = 2y; х = 72.

∠А = 72°, ∠АВС = 36°, 72° = 108°, ∠А = ∠С = 72°,

∠АВС = ∠ADC = 108°.

Відповідь: ∠А = ∠С = 72°, ∠АВС = ∠ADC = 108°.