Вправи: 80

80. На сторонах AB і BC паралелограма ABCD поза ним побудовано

рівносторонні трикутники ABM і BCK. Доведіть, що трикутник MKD

рівносторонній.

Нехай АВСD — паралелограм, ∆АВМ — рівносторонній. ∆ВКС — рівносторонній. Доведемо, що ∆МКD — рівносторонній.

Так як ∆КВС і ∆АВМ — рівносторонні, то ∠КВС = ∠МВА = 60° ⇒ ∠КВС і ∠МВА — вертикальні.

∠КВС = ∠BAD = 60° (як відповідні при ВС ∥ АВ і січній АК).

∠BAD = ∠BCD = 60° (як протилежні кути паралелограма ABCD).

∠АВС + ∠BAD = 180° (як сусідні кути паралелограма ABCD).

∠АВС = 180° – 60° = 120°.

Розглянемо ∆МАD, ∆DСК, ∆МВК.

1) МВ = МА = СD. 2) АD = КС = ВК. 3) ∠МВК = ∠АВС = 120° (як вертикальні). ∠МАD = ∠MAВ + ∠ВАD = 60° + 60° = 120°; ∠КСD = ∠КСВ + ∠ВСD = 60° + 60° = 120°. Отже, ∆МАD = ∆DСК = ∆МВК (за І ознакою рівності трикутників), тоді МD = КD = МК. ∆МКD — рівносторонній.