Вправи: 76

76. Точка перетину бісектрис двох сусідніх кутів паралелограма

належить його стороні. Знайдіть відношення сусідніх сторін

паралелограма.

Нехай дано паралелограм АВСD, АК — бісектриса ∠А , DК — бісектриса ∠D, т. K ∈ ВС. Знайдемо АВ : АD.

∠ВКА = ∠КАD (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ АD і січній АК).

∠ВАК = ∠КАD (АК — бісектриса). ∠ВАК = ∠ВКА, отже, ∆АВК — рівнобедрений, АВ = ВК.

∠СКD = ∠КDА (як внутрішні різносторонні при ВС ∥ АО і січній DК). ∠СDК = ∠КDА (DК — бісектриса).

Отже, ∠СDК = ∠СКD, тоді ∆СКD — рівнобедрений, СD = СК. Так як АВ = СD, то СК = АВ, ВС = 2АВ. ВС = АD = 2АВ. АВ : АD = АВ : 2АВ = 1 : 2.

Відповідь: 1 : 2.