Вправи: 73

73. Через довільну точку основи рівнобедреного трикутника проведено прямі, паралельні його бічним сторонам. Доведіть, що периметр утвореного чотирикутника дорівнює сумі бічних сторін даного трикутника.

Нехай АВС — рівнобедрений трикутник, АВ = ВС, D ∈ АС, DМ ∥ АВ, DK ∥ ВС.

Довести, що Р_KDMB = АВ + ВС = 2АВ.

Чотирикутник КDМВ — паралелограм, так як КD ∥ ВС, DМ ∥ АВ (за побудовою). КD = ВM, DМ = КВ (як протилежні сторони паралелограма). Р_KDMB = КD + DМ + МВ + ВК = ВМ + КВ + МВ + ВК. ∠КDА = ∠ВСА як відповідні при КО ∥ ВС і січній АС.

∠А = ∠ВСА як кути при основі рівнобедреного ∆АВС, ∠А = ∠КDА, тоді

∆КDА — рівнобедрений і АК = КD. ВК + КD = ВК + КА = ВА.

Р_KDMB = (ВК + КD) • 2 = АВ • 2.