Вправи
Вправи: 754
Готова відповідь до завдання 754 з ГДЗ Геометрія 8 клас Мерзляк.
Геометрія, 8 клас · Вправи
Текстова відповідь
754. У трикутнику провели всі три медіани. Доведіть, що вони
розбивають трикутник на шість рівновеликих трикутників.
Нехай дано ∆АВС, ВМ, СF, АК — медіани, перетинаються в т. О. Доведемо, що S∆AOM = S∆MOC = S∆COK = S∆KOB = S∆BOF = S∆AOF.
Позначимо S∆AOM = S5, S∆MOC = S4, S∆COK = S3, S∆KOB = S2, S∆BOF = S1, S∆AOF = S6.
Оскільки AK – медіана, то S∆ABK = S∆AKC. S6 + S1 + S2 = S5 + S4 + S3. Але S2 = S3, так як ОК — медіана ∆ВОС.
S6 + S1 = S5 + S4. S1 = S6 (ОF — медіана ∆АОВ), S5 = S4 (ОМ — медіана ∆АОС). 2S6 = 2S5, S6 = S5.
Остаточно маємо: S6 = S1 = S2 = S3 = S4 = S5.