Вправи: 69

69. Доведіть, що кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює гострому куту паралелограма.

Нехай дано паралелограм ABCD, ВК і ВМ — висоти. Доведемо, що ∠KBM = ∠A.

Нехай ∠A = х = ∠C. Розглянемо ∆АВК (∠K = 90°). ∠ABK = 90° – х. Розглянемо ∆BMC (∠M = 90°). ∠CBM = 90° – х. ∠ABC = ∠ABK + ∠KBM + ∠MBC, ∠ABC = 90° – x + ∠KBM + 90° – x, ∠ABC = 180° – 2x + ∠KBM.

∠A + ∠ABC = 180° (як сусідні кути паралелограма). х + 180° – 2х + ∠KBM = 180°, –х + ∠KBM = 0, ∠KBM = x. Отже, ∠KBM = ∠А.