Вправи: 658

658. В опуклому многокутнику 54 діагоналі. Знайдіть кількість його сторін і суму кутів.

Як відомо, кількість діагоналей многокутника обчислюється за формулою n •(n-3)2, отже, n •(n-3)2 = 54; n(n – 3) = 54 • 2;

n(n – 3) = 108; n² – 3n – 108 = 0; a = 1, b = –3, c = –108.

D = b² – 4ac; D = (–3)² – 4 • 1 • (–108) = 9 + 432 = 441 = 21²;

x₁ = -b- D2a; x₁ = 3-212 = -182 = –9 < 0;

x₂ = -b+ D2a; x₂ = 3+212 = 242 = 12.

Отже, кількість сторін і кутів — дванадцять.

За теоремою про суму кутів опуклого многокутника маємо:

181° • (n – 3); n = 12; 180° : (12 – 2) = 180° • 10 = 1800°.

Відповідь: дванадцять сторін, сума кутів 1800°.