Вправи: 659

659. Доведіть, що коли всі сторони многокутника, вписаного в коло, рівні, то й усі його кути теж рівні.

За умовою А₁А₂А₃...А_n — многокутник, вписаний в коло. Центр кола є точкою перетину серединних перпендикулярів.

Отже, В₁ — середина А₁А₂; В₂ — середина А₂A₃; В₃ — середина А₃А₄; ...; ОВ₁ ⊥ А₁А₂; ОВ₂ ⊥ A₂A₃; ОВ₃ ⊥ А₃А₄; ..;.

За умовою А₁А₂ = А₂А₃ = A₃A₄.

Отже, А₁В₁ = В₁А₂ = А₂В₂ = В₂A₃ = А₃В₃ = В₃А₄.

Розглянемо ∆ОВ₁А₂ і ∆ОВ₂А₂ — прямокутні (∠ОВ₁А₂ = ∠OB₂A₂ = 90°). В₁А₂ = A₂B₂, OA₂ – спільна сторона. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ОВ₁А₂ = ∆ОВ₂А₂.

За властивістю рівних фігур маємо: ∠В₁А₂O = ∠В₂А₂O.

Розглянемо ∆ОА₂В₂ і ∆ОА₃В₂ — прямокутні (∠ОВ₂А₂ = ∠ОВ₂А₃ = 90°). В₂А₂ = А₃В₂, ОВ₂ — спільна сторона. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ОА₂В₂ = ∆ОА₃В₂.

Отже, ∠ОА₂В₂ = ∠ОА₃В₂.

∆ОВ₂А₃ = ∆В₃А₃ (∠ОВ₂A₃ = ∠ОB₃A₃ = 90°), В₂А₃ = В₃A₃, ОА₄ – спільна сторона, ∠ОА₃В₂ = ∠ОА₃В₃. Отже, отримали ∠А₁А₂А₃ = А₂А₃А₄, тобто кути рівні. Доведено.