Вправи: 661

661. Усі сторони опуклого п’ятикутника рівні, а кути, прилеглі до

однієї зі сторін, — прямі. Знайдіть решту кутів п’ятикутника.

За теоремою про суму кутів опуклого многокутника маємо: 180° • (n – 2), n – 5. Отже, 180° • (5 – 2) = 180° • 3 = 540°. Звідси маємо:

∠А + ∠В + ∠С + ∠D + ∠Е = 540°, 90° + ∠В + ∠АС + ∠D = 540°, 180° + (∠В + ∠С + ∠D) = 540°, АВ + АС + АВ = 540° – 180°, ∠В + ∠С + ∠С = 360°.

Виконаємо додаткову побудову: діагональ ВD. АВDЕ — квадрат: АВ = АЕ = ЕD = ВD, ∠А = ∠Е = 90°. ∠АВD = ∠ЕDВ = 90°.

Розглянемо ∆ВСD — рівносторонній (ВС = СD = ВD),

∠С = ∠DВС = ∠ВDC = 60°. За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠АВС = ∠АВD + ∠DВС, ∠АВС = 90° + 60° = 150°.

Аналогічно ∠ЕDС = ∠ЕDВ + ∠ВDС, ∠ЕВС = 90° + 60° = 150°. Перевіримо рівність: ∠В + ∠С + ∠D = 360°, 150° + 60° + 150° = 360° — вірна рівність.

Відповідь: 150°, 60°, 150°.