Вправи: 663

663. Доведіть, що коли кути опуклого шестикутника рівні, то його

сторони утворюють три пари паралельних сторін.

За теоремою про суму кутів опуклого многокутника маємо: 180° • (n – 2) : n = 6.

Отже, 180° • (6 – 2) = 180° • 4 = 720°.

Якщо кути шестикутника рівні, тоді ∠А = ∠В = ∠С = ∠D = ∠Е = ∠F = 720° : 6 = 120°. Виконаємо додаткову побудову: діагоналі АD, ВF і СЕ. Маємо ВСЕF — прямокутник. ∠FВС = ∠ВСЕ = ∠СЕF = ∠ЕFВ = 90°.

За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠DСЕ = ∠DСВ – ∠ЕСВ, ∠DСЕ = 120° – 90° = 30°. Аналогічно ∠DЕС = ∠DЕF – ∠FЕС, ∠DЕС = 120° – 90° = 30°. Отже, ∆DСЕ — рівнобедрений (за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника). DК — висота, медіана, бісектриса.

∠ЕDК = ∠СDК = 120° : 2 = 60°.

∠ЕDК + ∠DЕF = 60° + 120° = 180° (∠ЕDК і ∠DЕF — внутрішні односторонні). За ознакою паралельності прямих маємо: АD ∥ FЕ, аналогічно АD ∥ ВС. Тому FE ∥ ВС. Аналогічно АВ ∥ DЕ, СD ∥ АF. Доведено.