Вправи: 421

421. Сторона квадрата ABCD дорівнює а. На дузі AC кола із центром В, радіус якого дорівнює а, позначено точку E таку, що ∠BEC = 75°. Знайдіть відрізок AE.

Розглянемо ∆ВЕС — рівнобедрений (ВЕ = ВС = а). За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо:

∠ВЕС = ∠ВСЕ = 75°.

За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠ЕВС = 180° – (∠ВЕС + ∠ВСЕ);

∠ЕВС = 180° – (75° + 75°) = 180° – 150° = 30°. За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠АВЕ = ∠АВС – ∠ЕВС; ∠АВЕ = 90° – 30° = 60°. Розглянемо ∆АВЕ — рівнобедрений (АВ = АЕ = а).

Якщо ∠АВЕ = 60°. Отже, ∆АВЕ — рівносторонній, тому АЕ = а. Відповідь: АЕ = а.