Вправи: 419

419. На сторонах кута А позначено точки B₁, B₂, C₁, C₂ так, що

AB1B1B2 = AC1C1C2 (рис. 127). Доведіть, що B₁C₁ ∥ B₂C₂.

За умовою AB1B1B2 = AC1C1C2 = k; AB₁ = k • B₁B₂; AC1C1C2 = k; АС₁ = k • С₁С₂.

За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АВ₂ = АВ₁ + В₁В₂; АС₂ = АС₁ + С₁С₂. Отже, АВ₂ = k • В₁В₂ + В₁В₂ = (k + 1) • В₁В₂;

АС₂ = k • С₁С₂ + С₁С₂ = (k + 1) • С₁С₂.

Розглянемо ∆В₁АС₁ і ∆В₂АС₂. ∠А — спільний кут.

AB1AB2 = AC1AC2; kB1B2(k+1)B1B2 = kC1C2(k+1)C1C2; kk+1 = kk+1.

Отже, за II ознакою, подібності трикутників маємо: ∆В₁АС₁ = ∆В₂АС₂. За властивістю подібних фігур маємо:

∠АВ₁С₁ = ∠АВ₂С₂ (відповідні). Отже, за ознакою паралельності прямих маємо: В₁С₁ ∥ В₂С₂, АВ₂ — січна. Доведено.