Вправи: 420

420. Бісектриса зовнішнього кута при вершині трикутника ABC перетинає промінь AC у точці D. Доведіть, що AB : BC = AD : CD.

Виконаємо додаткову побудову: пряму СЕ ∥ ВD. Тому СЕ ∥ DВ, СВ — січна. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠DВС = ∠ВСЕ (внутрішні різносторонні). СЕ ∥ BD, АF — січна. За ознакою паралельності прямих ∠СЕВ = ∠DВF, за умовою BD — бісектриса ∠1. За означенням бісектриси кута маємо: ∠FВD = ∠DВС. Отже, ∠DВС = ∠ВСЕ = ∠СЕВ. Отже, ∆ВСЕ – рівнобедрений. CB = BE.

За теоремою про пропорційні відрізки маємо: ADCD = ABEB, але ВЕ = СВ, отже, ABEB = ADCD; ABCB = ADCD. Доведено.