Вправи: 416

416. Через точку О, яка належить даному куту, проведіть відрізок,

кінці якого належать сторонам даного кута та який ділиться точкою О: 1) навпіл; 2) у відношенні 2 : 3.

1) Дано: кут А, точка О належить ∠А. Побудувати відрізок, кінці якого належать сторонам кута і точкою О діляться навпіл.

Побудова. І. 1) Будуємо бісектрису кута А.

2) Якщо О належить бісектрисі кута А, О ∈ АN, АN — бісектриса ∠А. Через точку О проводимо пряму, перпендикулярну променю АN; СВ — відрізок, який точкою О ділиться навпіл. (∆САВ — рівнобедрений, АО — медіана, бісектриса, висота).

II. Якщо О не належить бісектрисі кута.

1) Будуємо промінь АО. 2) На промені АО за точку О відкладаємо відрізок АО = ОА’. 3) Через точку А’ проводимо пряму а (а ∥ АВ), а ∩ АС = D. 4) Будуємо пряму DО (DО ∩ АВ = Е). ∆DОА’ = ∆ЕОА. 1) АО = ОА’ за побудовою; 2) ∠AОЕ = ∠A’OD (вертикальні). 3) DА’ ∥ АE (за побудовою), АА’ — січна. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠DA’O = ∠ЕАО (внутрішні різносторонні). Отже, DО = ОЕ, DЕ — шуканий відрізок.

2) Дано: кут А, точка О належить куту А. Побудувати відрізок, який

проходить через точку О, кінці якого належать сторонам кута А і який точкою О ділиться у відношенні 2 : 3. Побудова.

1) Будуємо промінь АО.

2) Ділимо відрізок АО навпіл. АР = РО = 12АО. 3) На промені АО за точку О відкладаємо 3 рівних відрізка, що дорівнюють АР. ОN = ЗАР; AOON = 23.

4) Через точку N проводимо пряму а паралельну стороні АВ (а ∩ АС = Е). 5) Будуємо пряму ОЕ (ОЕ ∩ АВ = F) . За теоремою про пропорційні відрізки маємо: FOEO = 23; ЕF — шуканий відрізок.