Вправи: 417 (1)

417. Побудуйте трикутник: 1) за стороною та кутами, які ця сторона утворює з медіанами, проведеними до двох інших сторін; 2) за двома медіанами та кутом між ними; 3) за висотою та медіаною, проведеними до однієї сторони, і кутом між цією стороною та медіаною, проведеною до іншої сторони; 4) за трьома медіанами.

1) Побудова. 1) Будуємо довільний промінь АХ. 2) Від точки А на промені відкладаємо відрізок АВ = а. 3) Від вершини А на стороні АВ будуємо кут α; ∠ВАМ = β. 4) Від вершини В на стороні ВА будуємо кут β; ∠АВК = β. 5) Промені АР і ВМ перетинаються у точці О. 6) За властивістю медіан трикутника маємо: медіани трикутника у точці перетину діляться у відношенні 2 : 1, починаючи від вершин. Ділимо АО навпіл: АЕ = ЕО = 12АО. 7) На промені АО за точку О відкладаємо відрізок ON = АЕ = 12АО. 8) Поділимо відрізок ВО навпіл: ВЕ = FО = 12ВО. 9) На промері ВО за точку О відкладаємо відрізок ОР = ВЕ = 12ВО. 10) Проводимо промені АР і ВN (АР ∩ ВN = С). ∆АВС — шуканий трикутник, побудований за стороною і кутом, які ця сторона утворює з медіанами, проведеними до інших сторін.

2) Дано: медіани m_а, m_b і кут між ними α. Додаткові побудови 1) Поділити відрізок m_а на три рівні частини. 2) Поділити відрізок m_b на три рівні частини. 3) Побудувати кут α. 4) Побудувати ∆АВС.

І. Ділення відрізка на три рівні частини.

1) Будуємо відрізок АВ = m_а. 2) Через точку А проводимо промінь АО. 3) На промені АО від точки А відкладаємо три рівні відрізки

АА₁ = А₁А₂ = А₂А₃. 4) Будуємо пряму ВА₃. 5) Через точку А₁ проводимо пряму паралельні ВА₃; С ∈ АВ, А₁С ∥ А₃В. АС : СВ = 1 : 2. Аналогічно ділимо відрізок m_b на три рівні частини.

ED = m_b; EF : FD = 1 : 2.

II. Будуємо кут, який дорівнює α.

1) Будуємо промінь ОК. 2) Будуємо дугу з центром у точці О радіусом ОК. 3) Вимірюємо циркулем довжину відрізка КL. 4) Будуємо прямі OL i OK. 6) На промені OL відкладаємо від точки О відрізок 23m_a і на доповняльному промені OL відрізок 13m_a. OB = 23m_a; OM = 13m_a; OC = 23m_b; OP = 13m_b.

7) Будуємо відрізок ВС. 8) Будуємо прямі ВР і МС; ВР ∩ МС = А. ∆АВС — шуканий трикутник, побудований за двома медіанами mа і mb і кутом між ними α.

3) Побудова. 1) Будуємо промінь ВО. 2) На промені ВО від точки В відкладемо відрізок ВС = а. 3) Поділяємо відрізок ВС навпіл, BD = DC = a2. 4) Будуємо дугу з центром у точці D радіуса m_а. 5) Від точки D будуємо пряму b (b ∥ ВС). 6) Пряма b перетинає дугу у точці А.

7) На промені ВО будуємо кут α. 8) Будуємо ∆АВС. ∆АВС — шуканий трикутник, побудований за висотою h_a, медіаною m_а, побудованими до однієї сторони і кутом між цією стороною і медіаною, проведеними до іншої сторони.

4) Додаткові побудови: ділимо відрізки m_а m_b, m_с у відношенні 1 : 2.

Побудова. 1) Будуємо ∆АОО₁ за трьома сторонами АО = 23АМ₁ = 23ma; AO₁ = 23CM₁ = 23m_b; OO₁ = 23M₁B = 23m_c.

2) Будуємо медіану АМ₁ (ОМ₁ = М₁О₁ = 13ВМ₁), продовжуємо її до точки С (СМ₁ = М₁А).

3) Продовжимо сторону ОМ₁ до точки В (ВО = 2OM₁).

4) Будуємо ∆ABC.

∆ABC — шуканий трикутник, побудований за трьома медіанами m_а m_b, m_с.