Вправи: 402

402. Доведіть, що коли дві медіани трикутника рівні, то цей трикутник рівнобедрений.

За властивістю медіани трикутника маємо: АО = 23АD і ОС = 23СМ, отже, якщо АD = МС, тоді АО = ОС. Звідси маємо ∆АОС — рівнобедрений. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника маємо: ∠ОАС = ∠ОСА. Розглянемо ∆АDС і ∆СМА.

1) АD = МС (за умовою); 2) ∠ОАС = ∠ОСА;

3) АС – спільна сторона. За І ознакою рівності трикутників ∆АDС = ∆СМА. За властивістю рівних фігур маємо: ∠МАС = ∠DСА. Звідси, за властивістю кутів рівнобедреного трикутника, маємо: ∆АВС — рівнобедрений (АВ = ВС). Доведено.