Вправи: 25 (1)

25. Доведіть, що коли бісектриси двох протилежних кутів опуклого

чотирикутника паралельні або лежать на одній прямій, то два

інших кути чотирикутника рівні.

1) За умовою ВN ∥ KD, ВС — січна. За ознакою паралельних

прямих маємо: ∠NВК = ∠DКС (відповідні).

Аналогічно ВN ∥ КD, АD — січна. За ознакою паралельних прямих маємо: ∠ANB = ∠NDК (відповідні). За умовою ВN — бісектриса ∠ABC. За означенням бісектриси кута маємо: ∠АBN = ∠NВС.

Якщо ∠NBK = ∠DКС, тоді ∠АBN = ∠DKС.

Нехай ∠ABN = ∠DKC = х.

За умовою DК — бісектриса ∠АDС. Тоді ∠ADК = ∠КDС.

Якщо ∠NDK = ∠АNВ, тоді ∠ANВ = ∠КDС. Нехай ∠ANB = ∠КDС = y.

Розглянемо ∆АNВ. За теоремою про суму кутів трикутника маємо:

∠А + ∠АBN + ∠BNA = 180°. Якщо ∠АBN = х і ∠BNA = y, тоді

∠A = 180° – (∠АBN + ∠ВNА), а саме ∠A = 180° – (х + у).

Розглянемо ∆DКС. За теоремою про суму кутів трикутника маємо:

∠C + ∠КDС + ∠DKC = 180°. Якщо ∠KDC = у і ∠DКС = х, тоді

∠C = 180° – (∠КDС + ∠DКС), а саме ∠C = 180° – (х + у).

Отже, ∠A = ∠C = 180° – (х + у). Доведено.

2) За умовою BD — бісектриса ∠ABC. За означенням бісектриси кута маємо: ∠АВD = ∠СВD = 12∠ABC.

Аналогічно, якщо ВD — бісектриса ∠АDС, тоді ∠АDВ = ∠СDВ = 12∠АDС.

Розглянемо ∆АВО і ∆СВО. 1) ∠ABD = ∠CBD; 2)∠АDВ = ∠CDB;

3) ВD – спільна сторона. За II ознакою рівності трикутників маємо ∆АBD = ∆СВD. За властивістю рівних фігур маємо ∠A = ∠C. Доведено.