Вправи: 24 (1)

24. У чотирикутнику ABCD відомо, що ∠A = ∠C = 90°. Доведіть, що бісектриси двох інших кутів чотирикутника або паралельні, або лежать на одній прямій.

1) За умовою ВN — бісектриса ∠АВС.

За означенням бісектриси кута маємо:

∠ABN = ∠NВК = 12∠АВС. Нехай ∠ABN = х, тоді ∠NВС = х, а ∠ABC = 2х. Розглянемо ∆АВN — прямокутний (∠A = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ∠АВN + ∠ANB = 90°.

Якщо ∠ABN = х, тоді ∠ANB = 90° – ∠АВN, ∠ANB = 90° – x.

Розглянемо чотирикутник АВСD. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Якщо ∠A = ∠C = 90° і ∠АBC = ∠В = 2х, тоді ∠D = 360° – (∠А + ∠В + ∠C), ∠D = 360° – (90° + 90° + 2х), ∠D = 360° – (180° + 2х) = 360° – 180° – 2х = 180° – 2х.

За умовою DK — бісектриса ∠АDС.

За означенням бісектриси кута маємо: ∠АDК = ∠СDК = 12∠АDС.

Якщо ∠АDС = 180° – 2х, тоді ∠АDК = ∠CDK = 12(180° – 2х) = 90° – х. Розглянемо ∆КDС — прямокутний (∠С = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо:

∠KDC + ∠DKC = 90°, ∠DKC = 90° – ∠KDC.

Якщо ∠DКС = 90° – х, тоді ∠КDС = 90° – (90° – х) = 90° – 90° + х = х.

Розглянемо прямі BN і КD, АD — січна. ∠ANB = 90° – х, ∠АDК = ∠NDК = 90° – х (відповідні). Якщо ∠ANB = ∠NDK, за ознакою паралельних прямих маємо ВN ∥ KD. Доведено.

2) За умовою ВD — бісектриса ∠АВС. За означенням бісектриси кута маємо ∠АВD = ∠СВD = 12∠ABC.

Розглянемо ∆АВD і ∆СВD — прямокутні (∠A = ∠C = 90°). Якщо ∠ABD = ∠CBD, ВD — спільна гіпотенуза. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо ∆АВD = ∆СВD.

За властивістю рівних фігур маємо ∠АDВ = ∠СDВ.

Звідси маємо ВD — бісектриса ∠ADC. Доведено.