Вправи: 232

232. Доведіть, що сума протилежних кутів рівнобічної трапеції

дорівнює 180°. Чи є правильним обернене твердження: якщо сумa протилежних кутів трапеції дорівнює 180°, то дана трапеція є рівнобічною?

Нехай АВСD — трапеція. ВС ∥ AD, АВ ∦ СD, АВ = СD.

Доведемо, що ∠А + ∠С = ∠D + ∠В = 180°.

∠А = ∠D

∠B = ∠C як кути, прилеглі до основ в рівнобічній трапеції.

∠А + ∠В = 180°

∠С + ∠D = 180° як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції.

Тоді ∠А + ∠С = 180°, ∠В + ∠В = 180°.

Перевіримо обернене твердження: Нехай ∠А + ∠С = ∠В + ∠В = 180°,

то трапеція рівнобока. Оскільки ∠А + ∠В = ∠С + ∠В = 180° (як кути,

прилеглі до бічної сторони трапеції), то ∠В = ∠С, ∠А = ∠В.

Проведемо висоти ВМ і СК і розглянемо ∆АВМ і ∆ВСК.

1) ∠ВМА = ∠СКВ = 90°. 2) ВМ = СК (як висоти). 3) ∠А = ∠В.

Отже. ∆АВМ = ∆ВСК (за катетом і гострим кутом). З цього випливає,

шо АВ = СВ, тоді трапеції АВСВ — рівнобока.