Вправи: 20

20. У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 44°, ∠B = 56°. Бісектриси

AK і BM трикутника перетинаються в точці О. Знайдіть кути чотирикутника: 1) МОКС; 2) АОВС.

1) Розглянемо ∆АВС. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠А + ∠B + ∠C = 180°, ∠С = 180° – (∠А + ∠В), ∠C = 180° – (44° + 56°) = 180° – 100° = 80°. За умовою АК — бісектриса ∠A. За означенням бісектриси маємо: ∠САК = ∠BАК = 44° : 2 = 22°.

Розглянемо ∆АСК.

За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠A + ∠C + ∠К = 180°,

∠K = 180° – (∠А + ∠C), ∠K = 180° – (22° + 80°) = 180° – 102° = 78°. За умовою ВМ — бісектриса ∠B. За означенням бісектриси кута маємо: ∠АВМ = ∠MBC = 56° : 2 = 28°. Розглянемо ∆СМВ. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠B + ∠M + ∠C = 180°, ∠M = 180° – (∠В + ∠C), ∠M = 180° – (80° + 28°) = 180° – 108° = 72°. Розглянемо чотирикутник МОКС. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠M + ∠O + ∠K + ∠C = 360°, ∠O = 360° – (∠M + ∠К + ∠C), ∠O = 360° – (72° + 78° + 80°) = 360° – 230° = 130°.

Відповідь: 72°, 80°, 78°, 130°.

2) Розглянемо чотирикутник АОВС. ∠A = 22°, ∠B = 28°, ∠C = 80°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠C + ∠O = 360°, ∠O = 360° – (∠А + ∠B + ∠C), ∠O = 360° – (22° + 28° + 80°) = 360° – 130° = 230°.

Відповідь: 22°, 28°, 80°, 230°.