Вправи: 156

156. У трикутнику ABC проведено серединний перпендикуляр його

бісектриси BDi який перетинає сторони AB і BC у точках K і P відповідно. Визначте вид чотирикутника BKDP.

За умовою КР — серединний перпендикуляр до бісектриси BD.

КР ∩ BD = О, BO = OD.

Розглянемо ∆ВОР і ∆POD — прямокутні, ∠ВОР = ∠DOP = 90°.

1) BO = OD = 12BD; 2) ∠ВОР = ∠DOP = 90°; 3) OP — спільна сторона.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ВОР = ∆DOP. За властивістю рівних фігур маємо: ∠ВРО = ∠DPO і BP = PD.

Розглянемо ∆ВОР і ∆ВОК — прямокутні.

1) ∠РВО = ∠КВО = 12∠КВР; 2) ∠ВОР = ∠ВОК = 90°;

3) ВО — спільна сторона.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ВОР = ∆ВОК.

Звідси маємо BP = ВК, ∠ВРО = ∠ВКО. Звідси маємо ∠DРО = ∠ВКО.

Прямі PD і ВК, КР — січна. За ознакою паралельності прямих маємо,

якщо ∠DPO = ∠ВКО (внутрішні різносторонні), тоді PD ∥ ВК.

∆ВОК = ∆DOK (∠ВКО = ∠DKO). ∆POD = ∆KOD. 1) ∠POD = ∠KOD =90°;

2) ∠ВКО = ∠DKO. Звідси маємо ВР ∥ KD. Отже, KBPD — паралелограм. BD ⊥ КР. За теоремою 5.2 маємо: KBPD — ромб.

Відповідь: KBPD — ромб.