Вправи: 157

157. У прямокутнику ABCD відомо, що AD = 9 см, ∠BDA = 30°.

На сторонах BC і AD позначено відповідно точки M і K так, що утворився ромб AMCK. Знайдіть сторону цього ромба.

Розглянемо ∆ВАD і ∆АDС — прямокутні (∠ВАD – ∠СDА = 90°). АВ = СD (сторони прямокутника), АD — спільна сторона. За ознакою

рівності прямокутних трикутників маємо: ∆ВАD = ∆СDА. За властивістю рівних фігур маємо: ∠ВDА = ∠САD = 30°. Розглянемо ромб АМСК: АС — діагональ ромба.

За властивістю діагоналей ромба маємо: ∠САК = ∠САМ = 12∠КАМ;

∠КАМ = 2 • 30° = 60°. За властивістю протилежних кутів ромба маємо: ∠МАК = ∠МСК = 60°. За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠КСD = ∠ВСD – ∠МСК, ∠КСD = 90° – 60° = 30°. Розглянемо ∆КСD —

прямокутний (∠D = 90°), якщо ∠KCD = 30°. За властивістю катета, який лежить напроти кута 30°, маємо: КD = 12КС. Нехай КD = x см, тоді КС = 2х (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АD = АК + КD.

Складемо і розв’яжемо рівняння: x + 2х = 9; Зx = 9; х = 9 : 3; х = 3.

Отже, КС = 3 • 2 = 6 (см),

Відповідь: 6 см.