Вправи: 138

138. Доведіть, що чотирикутник, усі сторони якого рівні, є ромбом.

Виконаємо додаткову побудову: діагональ АС. Розглянемо

∆АВС і ∆ADC. За умовою АВ = ВС = CD = AD, AC — спільна сторона. За III ознакою рівності трикутників маємо ∆АВС = ∆ADC. За властивістю рівних фігур маємо: ∠BCA = ∠DAC, ∠CAB = ∠ACD (відповідні елементи). Отже, маємо: прямі АВ і CD, січна АС, якщо ∠BCA = ∠CAD (внутрішні різносторонні).

За ознакою паралельності прямих маємо ВС ∥ AD. Аналогічно, маємо

прямі АВ ∥ CD, АС — січна, ∠CAB = ∠ACD (внутрішні різносторонні).

Звідси маємо, якщо АВ ∥ CD і ВС ∥ AD, тоді за означенням паралелограма маємо ABCD — паралелограм. За умовою АВ = ВС = CD = AD, тоді ABCD — ромб. Доведено.