Вправи: 135

135. На площині позначено 1000 точок. Доведіть, що існує пряма,

відносно якої у кожній півплощині лежать по 500 точок.

Розглянемо всі прямі, які з’єднують пари даних точок. Візьмемо деяку пряму а, яка не перпендикулярна ні oдній з цих прямих.

Виберемо на площині систему координат таким чином, щоб пряма а

була віссю Ох. Позначимо абсциси даних точок в порядку збільшення x₁, x₂, ..., х₁₀₀₀ (числа х₁, х₂, ..., х₁₀₀₀ різні згідно вибору прямої a). Знайдеться деяке число b таке, що x₅₀₀ < b < x₅₀₁. Проведемо пряму, яка задається рівнянням х = b. Тоді легко помітити, що по кожну сторону від неї лежить рівно 500 точок.