Відповіді до § 1 - § 10: 4.33

4.33 На діагоналі AC ромба ABCD позначено точки M і N такі, що

AM = CN. Доведіть, що чотирикутник DMBN є ромбом (розгляньте два випадки розміщення точок M і N).

І випадок. 1) ∆ВАМ = ∆DCN (за першоюознакою). Тому BM = DN.2) Аналогічно ∆BCN = ∆DAM і тому BN = DM.3) Оскільки у чотирикутника DMBN протилежні сторони попарно рівні, то DMBN — паралелограм.4) ∆ВАМ = ∆BCN (за першою ознакою). Тому

BM = BN. Дві сусідні сторони паралелограма рівні, тому він є ромбом. Отже, DMBN— ромб.

II випадок. AM = CN. AN = AC – CN; CM = AC – AM. Але AM = CN, тому AN = CM. Далідоводимо так само, як у випадку І.Задачу повністю доведено.