Домашні самостійні роботи: №3 (13)

13. У ∆ABC: ∠C = 90°, CK — висота трикутника, KB = 9 см, AK : CK = 4 : 3. Установіть відповідність між сторонами трикутника ABC (1–3) та їхніми довжинами (А–Г).

AK = 4x, CK = 3x.

З умови: AB = AK + KB = 4x + 9.

АС2 = АК2 + СК2 = (4х)2 + (3х)2 = 16х2 + 9х2 = 25х2 ⇒ AC = 5x.

ВС2 = КВ2 + СК2 = 92 + (3х)2 = 81 + 9х2;

(4х+9)2 = (5х)2 + ВС2;

АВ = АС2+ ВС2. АК = 12 см, для х = 3.

АВ = АК + КВ = 12 + 9 = 21 (см).

AB — Г (25 см);

BC — А (15 см);

AC — Б (20 см).

Завдання для перевірки знань до §12 – §16

1. ∆ABC ~ ∆LMN, ABLM = 3. Знайдіть відношення ACLN.

∆ABC ~ ∆LMN; ABLM = ACLN; ACLN = 3.

Відповідь: ACLN = 3.

2. Доведіть, що ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁, якщо AB = 3 см, BC = 4 см, AC = 5 см, A₁B₁ = 6 см, B₁C₁ = 8 см, A₁C₁ = 10 см.

Оскільки 36 = 48 = 510, то АВА1В1 = ВСВ1С1 = АСА1С1. Тому ∆АВС ~ ∆А₁В₁С₁ (за трьома сторонами).

3. Дано: KL ∥ MN (мал. 1), OL = 3 см, LN = 6 см, OK = 2 см.

Знайдіть KM.

OKOL = KMLN; 23 = KM6; 3 • KM = 12; KM = 4 (см).

4. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його проекція на гіпотенузу дорівнює 4 см, а гіпотенуза – 25 см.

1) ∆ABC — прямокутний; AB — гіпотенуза; CD — висота трикутника; BD = 4 см; AB = 25 см.2) За властивістю маємо BC2 = AB • BD;BC2 = 25 • 4 = 100, тому BC = 10 (см).Відповідь: 10 см.

5. AL – бісектриса трикутника ABC, AB = 8 см, AC = 10 см. Менший з відрізків, на які бісектриса AL ділить сторону BC, дорівнює 4 см. Знайдіть BC.

1) За властивістю бісектриси ABAC = BLLC.2) Оскільки AB < AC, то BL < LC.За умовою BL = 4 (см).3) 810 = 4LC; 8 • LC = 40; LC = 5 (см).

4) Тоді BC = 4 + 5 = 9 (см).

Відповідь: 9 см.

6. На малюнку 170 знайдіть подібні трикутники та доведіть їх подібність.

∆ABC ~ ∆LBK (за двома кутами).

7. Сторони трикутника відносяться як 5 : 6 : 7. Знайдіть невідомі сторони подібного йому трикутника, якщо сума його більшої і меншої сторін дорівнює 24 см.

1) Оскільки сторони трикутника відносяться як 5 : 6 : 7, то сторони подібного йому трикутника відносяться так само.

2) Позначимо ці сторони 5х см; 6х см і 7x см. За умовою 5х + 7х = 24; 12х = 24; х = 2 (см).

3) Сторони трикутника дорівнюють 5 • 2 = 10 (см); 6 • 2 = 12 (см);

7 • 2 = 14 (см).

Відповідь: 10 см; 12 см; 14 см.

8. O – точка перетину діагоналей трапеції ABCD (AB ∥ CD), AO = 6 см, OC = 4 см. Знайдіть основи трапеції, якщо їх сума дорівнює 20 см.

1) Позначимо AB = х (см), тоді CD = 20 – х (см).2) За задачею №13.14, маємо ∆AOB ~ ∆COD, тоді AOCO = ABCD; 64 = x20-x; 120 – 6х = 4х; 120 = 10х; х = 12 (см). Отже, AB = 12 (см), CD = 20 – 12 = 8 (см).

Відповідь: 12 см; 8 см.

9. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 6 см, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

1) Нехай BK— висота рівнобічної трапеції ABCD, основи AD = 10 cм; BC = 6 см.2) AK = AD-BC2 = 10-62 = 42 = 2 (см).3) Тоді KD = 10 – 2 = 8 (см).4) Оскільки ∠ABD = 90° (за умовою), то BK— висота прямокутного трикутника, яка проведена до гіпотенузи. За властивістю

висоти маємо BK² = AK • KD = 2 • 8 = 16, тому BK = 4 (см).

Відповідь: 4 см.

10. У двох рівнобедрених трикутниках кути при вершині між собою рівні. Периметр одного з трикутників дорівнює 56 см. Знайдіть його сторони, якщо дві сторони другого трикутника відносяться як 2 : 3.

1) Нехай у ∆ABC: AB = BC, а у ∆1B1C1:A1B1 = B1C1, крім того ∠B = ∠B1. Тоді∆ABC ~ ∆A1B1C1 (за наслідком з ознакиподібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними).2) P∆ABC = 56 см. Сторони трикутникаA1B1C1 відносяться як 2 : 3. Оскільки∆ABC ~ ∆A1B1C1, то й сторони трикутника

ABC відносяться, як 2 : 3.

3) Необхідно розглянути два випадки.

I випадок. AB : AC =2 : 3. Тоді позначимо AB = BC = 2х (см), AC = Зх (см).

Маємо 2х + 2х + Зх = 56; 7x = 56; х = 8 (см). Тоді AB = BC = 2 • 8 = 16 (см), AC = 3 • 8 = 24 (см).

II випадок. AC : BC =2 : 3. Тоді позначимо AC = 2х (см), AB = BC = Зх (см). Маємо 2х + Зх + Зх = 56; 8х = 56; х = 7 (см). Тоді AC = 2 • 7 = 14 (см), AB = BC = 3 • 7 = 21 (см).

Відповідь: 16 см; 16 см; 24 см або 14 см; 21 см; 21 см.

11. На стороні AC трикутника ABC позначено точку K таку, що ∠ABK = ∠С, AB = 8 см, AK = 4 см. Знайдіть KC.

1) ∆ABC ~ ∆AKB (за двома кутами).2) Тому ABAC = AKAB; 8AC = 48;4 • AC = 64; AC = 16 (см).3) Тоді KC = 16 – 4 = 12 (см).Відповідь: 12 см.