Вправи: 1289

1289. Скільки сторін має опуклий многокутник, якщо у ньому всього

135 діагоналей?

Діагоналей опуклого n–кутника 135.

Сторін – ?.

Розв'язання

Нехай кількість сторін в опуклому n–кутнику дорівнює n, тоді кількість діагоналей – n(n-3)2;

n(n-3)2 = 135, (• 2);

n(n – 3) = 270;

n² – 3n – 270 = 0;

D = (–3)² – 4 • 1 • (–270) = 9 + 1080 = 1089 = 33²;

n₁ = 3-332 = -302 = –15 – не задовольняє умову.

n₂ = 3+332 = 362 = 18

Відповідь: 18 сторін.