Вправи: 769

769. Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної:

1) (2x-1x)² – 6(2x-1)x + 5 = 0; заміна: 2x-1x = t; (2x-1x)² = t²; маємо рівняння t² – 6t + 5 = 0; t₁ = 5; t₂ = 1.

2x-1x = 5 або 2х-1х = 1; 2х-1х – 5 = 0 або 2х-1х – 1 = 0; 2х-1-5хх = 0 або 2х-1-хх = 0; -1-3хх = 0 або х-1х = 0; перше рівняння має корені -1-3хх = 0; –1 – 3х = 0, х = –13,

х ≠ 0; х ≠ 0;

х = –13; друге рівняння має корені х-1х = 0;\

х – 1 = 0, х = 1,

х ≠ 0; х ≠ 0; х = 1

Відповідь: –13; 1.

2) 3х-1х+1 + х+13х-1 = 3t = 13; заміна 3х-1х+1 = t; x+13x-1 = 1t; маємо рівняння t + 1t = 313; t + 1t – 103 = 0; 3t2- 10t+3t = 0;

3t² – 10t + 3 = 0, t = 3 або t = 13, тоді 3х-1х+1 = 3 або

3t ≠ 0; t ≠ 0;

х+13х-1 = 13. Розв’яжемо перше рівняння. 3х-1х+1 – 3 = 0;

3х-1-3х-3х+1 = 0; -4х+1 = 0; коренів немає; розв’яжемо друге рівняння х+13х-1 – 13 = 0; 9х-3-х-13х+1 = 0; 8х-43(х+1) = 0;

8х – 4 = 0, х = 12, х = 12.

3(х + 1) ≠ 0; х ≠ –1;

Відповідь: 12.