Вправи: 993

993. У рівнобедреному трикутнику ABC кут при вершині B у 2 рази менший від кута при основі, AD — бісектриса, D ∈ BC.

Доведи, що ∆CAD і ∆ADB — рівнобедрені.

∆ABC, AB = BC. AD — бісектриса. ∠C = 2∠B.

Доведемо: ∆CAD = ∆ADB рівнобедрені. Знайдемо кути ∆ABC. ∠C = ∠BAC як кути при основі. Нехай ∠B = х°, тоді ∠C = ∠BAC = 2х°.

Одержуємо рівняння: х + 2х + 2х = 180°;

5х = 180°; х = 36°. Виходить, ∠B = 36°, ∠C = ∠BAC = 72°.

У ∆ADC, ∠C = 72°, ∠DAC = 12∠BAC (оскільки AD — бісектриса),

виходить, ∠DAC = 72° • 12 = 36°, тоді ∠ADC = 180° – (72° + 36°) = 72° й ∆ADC — рівнобедрений. У ∆ABD, ∠B = 36°, ∠BAD = 36°, виходить, ∆ABD — рівнобедрений.