Вправи: 992

992. Знайди кути рівнобедреного трикутника, якщо кут при

вершині дорівнює куту між бісектрисами, проведеними до

основи і до бічної сторони.

∆ABC, AB = BC. BK та AM — бісектриси ∠ABC = ∠AOK.

Розглянемо ∆AOK, ∠AKO = 90°, тоді ∠AOK + ∠KAO = 90°, ∠KAO = 90° – ∠AOK, ∠KAO = 12∠BAK, оскільки AM — бісектриса ∠ВАС. Нехай ∠ABC = х, тоді ∠BAK = 2(90° – х), ∠BAC = ∠BCA як кути при основі рівнобедреного трикутника. Одержуємо рівняння: х + (90– х) • 2 + (90– х) • 2 = 180°;

х + 180° – 2х + 180° – 2х = 180°; Зх = 180°; х = 60°.

Виходить, ∠ABC = 60°, ∠ВАС = ∠BCA = (90° – 60°) • 2 = 60°.

Відповідь: 60°, 60°, 60°.