Вправи: 961

961. Один із кутів трикутника на 20° більший за другий і на 50°

менший від третього. Знайди кут між бісектрисами менших кутів цього трикутника.

∆ABC, CK і AD — бісектриси, точка O — точка їхнього перетинання. Нехай ∠A = х°, тоді ∠C = х° – 20°, ∠B = х + 50°.

Сума кутів трикутника 180°.

Одержуємо рівняння: х + х – 20° + х + 50° = 180°; 3х + 30° = 180°; Зх = 150°; х = 50°.

Оскільки ∠A = 50°, ∠C = 30°, ∠B = 100°.

Знайдемо кут між бісектрисами AD та CK, ∠DOC.

У ∆BAD ∠B = 100°, ∠BAD = 50° : 2 = 25° (бо AD — бісектриса ∠BAD),

тоді ∠ADB = 180° – (100° + 25°) = 55°. ∠ADC = 180° – ∠ADB (оскільки вони суміжні), тоді ∠ADC = 180° – 55° = 125°. У ∠DOC ∠ODC = 125°, ∠DCO = ∠BCA : 2 = 30° : 2 = 15°, тоді ∠DOC = 180° – (125° + 15°) = 40°.

Відповідь: 40°.