Вправи: 727

727. Коло із центром у точці О дотикається до сторін кута A в точках B і C так, що кут BОC дорівнює 120°. Знайди відстані від точок О і A до хорди ВС, якщо радіус кола 8 см.

Дано: коло К (О; ОВ); АВ, АС – дотичні; ∠ВОС = 120°; ОВ = 8 см. Знайти: ОР, АР.

Розв’язання

∆ВОС: ∠ОВС = ∠ОСВ = (180° – ∠ВОС) : 2 = (180° – 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°.

∆ВОС (∠Р = 90°) : ∠ОВР = 30°, тоді за властивістю катета, що лежить проти кута 30°. ОР = 12ОВ = 12 • 8 = 4 (см).

∆ОВА (∠В = 90°):

∠ВОА = 12∠ВОС = 12 • 120° = 60°.

∠ВАО = 90° – ∠ВОА = 90° – 60° = 30°, тоді за властивістю катета, що лежить проти кута 30°: ОА = 2 • ОВ = 2 • 8 = 16 (см).

АР = ОА – ОР = 16 – 4 = 12 (см).

Відповідь: 4 см; 12 см.