Вправи: 726

726. Коло із центром у точці О дотикається до сторін кута A в точках B і C так, що кут BОC дорівнює 120°. Знайдіть периметр

трикутника AВС, якщо ВС = 12 см.

Дано: коло К (О; ОВ); АВ, АС – дотичні; ∠ВОС = 120°; ВС = 12 см. Знайти: Р∆АВС.

Розв’язання

В ∆ОВА і ∆ОСА:

1) ∠ОВА = ∠ОСА = 90°;

2) ОВ = ОС – як радіуси;

3) ОА – спільна сторона.

Отже, ∆ОВА = ∆ОСА за гіпотенузою і катетом. Тоді АВ = АС як відповідні сторони рівних трикутників. ∆ВАС – рівнобедрений.

∆ВОС: ∠ОВС = ∠ОСВ = (180° – ∠ВОС) : 2 = (180° – 120°) : 2 = 30°.

∠АВС = 90° – ∠ОВС = 90° – 30° = 60°.

Отже, ∆ВАС – рівносторонній.

Р∆_АВС = 3 • ВС = 3 • 12 = 36 (см).

Відповідь: 36 см.