Вправи: 574

574. Доведи рівність трикутників АВР і АСР (мал. 15.12), якщо

АВ = АС і ВР = РС. Чи буде РА бісектрисою кута ВРС? Відповідь обґрунтуй.

Дано: AB = AC; BP = PC.Довести: ∆ABP = ∆АСР.РА – бісектриса ∠ВРС

Доведення

В ∆АВР і ∆АСР:

1) АР – спільна сторона;

2) АВ = АС – за умовою;

3) ВР = РС – за умовою.

Отже, ∆АВР = ∆АСР за третьою ознакою рівності трикутників. Тоді

∠ВРА = ∠СРА як відповідні кути рівних трикутників РА є бісектрисою ∠ВРС.

575–576. Точка O рівновіддалена від вершин А, В і C рівностороннього трикутника. Доведіть, що: ∠AOB = ∠BOC = ∠AOC; ∠OAB = ∠OBC = ∠OCA.

Нехай ∆АВС – рівносторонній, тобто АВ = ВС = АС. Оскільки точка О рівновіддалена від точок А, В, С, то АО = ВО = СО. Оскільки АВ = ВС = АС і АО = ВО = СО, то ∆АВО = ∆ВСО = ∆САО. Із рівності трикутників маємо, що ∠ОАВ = ∠ОВА = ∠ОСА.