Вправи: 1024

1024. M, N, P і K — середини сторін квадрата ABCD. Доведи, що

MNPK — квадрат.

Нехай даний квадрат ABCD, точки М, N, Р, K середини сторін АВ, BC, CD, AD. Доведемо, що MNPK — квадрат.

∆MBN = ∆NCP = ∆PDK = ∆KAM по двох катетах і є рівнобедреними, BN = NC = CP = PD = AK = AM = MB = KD, оскільки точки М, N, Р, K — середини сторін АВ, BC, CD, AD. Виходить, MN = NP = PK = MK та ∠BMN = ∠MNB = ∠CNP = ∠CPN = ∠KPD = ∠DKP = ∠AKM = ∠AMK = 90°.

Розглянемо ∠BNC = ∠BNM + ∠MNC + ∠PNC, оскільки ∠BNM = ∠PNC = 45°, то ∠BNC = 45 • 2 + ∠MNP, ∠BNC — розгорнутий, виходить, ∠BNC = 180°, тоді ∠MNP = 90°. Аналогічно ∠NPK, ∠PKM, ∠KMN теж 90°. Виходить, MNPK квадрат.