Вправи: 751

751. Доведіть, що проти більшого кута трикутника лежить більша сторона, а проти більшої сторони — більший кут.

1) Доведемо, що проти більшої сторони лежить більший кут. Нехай у трикутнику АВС АВ > ВС. Відкладемо на стороні АВ від точки В відрізок BD = BC. Трикутник DBC – рівнобедрений, тоді ∠BDC = ∠BCD як кути при основі рівнобедреного трикутника. Кут CBD – зовнішній кут трикутника ADC, тому він більший за кут А. Далі: ∠BDC = ∠BCD і кут BCD cтановить лише частину кута С, тому ∠С > ∠А;

2) Доведемо, що проти більшого кута в трикутнику лежить більша сторона. Нехай ∠С > ∠В. Можливе одне з трьох співвідношень:

1) АВ = АС; 2) АВ < АС; 3) АВ > АС. Якщо АВ = АС, то ∠С < ∠В, що суперечить умові. Отже, можливий лише випадок, коли АВ > АС.