Вправи: 750

750. Через точку O перетину бісектрис кутів А і C трикутника ABC проведено пряму MN, паралельну стороні AC (мал. 388). Доведіть, що MN = AM + CN.

∠МОА = ∠ОАС як внутрішні різносторонні при паралельних прямих MN і АС та січній АО. Тоді ∠МАО = ∠ОАС = ∠МОА, звідки слідує, що трикутник АМО – рівнобедрений, АМ = МО. ∠NOC = ∠OCA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих MN і АС та січній ОС. Тоді ∠NCO = ∠OCA = ∠CON, звідки слідує, що трикутник ONC – рівнобедрений, NC = ON. Оскільки AM = MO, ON = NC, то AM + NC = MO + ON = MN. Отже, АМ + NC = MN.