Вправи: 675

675. На сторонах кута позначено дві точки, однаково віддалені від його вершини, і з кожної з них опущено перпендикуляр на другу сторону. Доведіть, що перпендикуляри рівні. (Розгляньте гострий, прямий і тупий кути.)

1) І випадок. Нехай задано гострий кут. Оскільки АВ = АС, ∠ADB =

∠AKC = 90°, ∠A – спільний кут трикутників ABD і ACK, то ∆ABD =

∆ACK за стороною і двома прилеглими до неї кутами. У рівних трикутників відповідно сторони рівні, тому BD = КС;

2) ІІ випадок. Нехай задано прямий кут. Оскільки АВ = СА і ці відрізки є перпендикулярними, то відкладені перпендикуляри рівні;

3) ІІІ випадок. Нехай задано тупий кут. Оскільки АВ = АС, ∠BAD = ∠CAK як вертикальні, ∠DBA = ∠KCA як різниця 90° і рівних кутів, то ∆ABD = ∆ACK за стороною і двома прилеглими до неї кутами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні, тому BD = KC.